Questions are followed by two statements, labeled statement I and statement II

These statements contain additional information. Select option ক. if Statement I alone is sufficient, but statement II alone is not sufficient to answer the question. Select option খ. if statement II alone is sufficient, but statement I alone is not sufficient. Select option গ. if both statements I and II together are sufficient to answer the question, but neither statement alone is sufficient. Select option ঘ. if each statement alone is sufficient to answer the question.

Set J consists of terms {2, 7, 12, 17, a} Is a > 7 ?
I. a is the median of set J
II. Set J does not have a mode

Created: 1 month ago | Updated: 1 month ago

Updated: 1 month ago

ক

ক
খ

খ
গ

গ
ঘ

ঘ

ব্যাখ্যাঃ

প্রশ্নটি ডেটা সাফিসিয়েন্সি (Data Sufficiency) সংক্রান্ত, যেখানে প্রদত্ত প্রশ্নটির উত্তর দেওয়ার জন্য কোন তথ্য (statement) যথেষ্ট, তা যাচাই করতে হবে।

দেওয়া আছে সেট J = {2, 7, 12, 17, a}। আমাদের নির্ণয় করতে হবে যে, \(a > 7\) কিনা।

স্টেটমেন্ট I বিশ্লেষণ: a হল সেট J এর মধ্যমা (median)।

একটি সেটে 5টি পদ থাকলে, মধ্যমা হল তৃতীয় পদ, যখন পদগুলি আরোহী (ascending) ক্রমে সাজানো হয়।
সেটের অন্যান্য পদগুলি হল 2, 7, 12, 17।
'a' কে মধ্যমা হতে হলে, এটিকে 7 এবং 12 এর মধ্যে বা এই দুটির সমান হতে হবে। অর্থাৎ, \(7 \le a \le 12\) হতে হবে।
- যদি \(a < 2\), তাহলে সাজানো ক্রম হবে \(\{a, 2, 7, 12, 17\}\), মধ্যমা 7।
- যদি \(2 < a < 7\), তাহলে সাজানো ক্রম হবে \(\{2, a, 7, 12, 17\}\), মধ্যমা 7।
- যদি \(7 \le a \le 12\), তাহলে সাজানো ক্রম হবে \(\{2, 7, a, 12, 17\}\), মধ্যমা 'a'।
- যদি \(12 < a < 17\), তাহলে সাজানো ক্রম হবে \(\{2, 7, 12, a, 17\}\), মধ্যমা 12।
- যদি \(a > 17\), তাহলে সাজানো ক্রম হবে \(\{2, 7, 12, 17, a\}\), মধ্যমা 12।
সুতরাং, 'a' মধ্যমা হবে যদি \(7 \le a \le 12\) হয়।
এখন, এই শর্তে \(a > 7\) কিনা দেখি:
- যদি \(a = 7\) হয়, তাহলে \(a > 7\) মিথ্যা।
- যদি \(a = 8\) হয়, তাহলে \(a > 7\) সত্য।
যেহেতু 'a' এর মান 7 হতে পারে (যা \(a > 7\) প্রশ্নটির জন্য 'না' উত্তর দেয়) অথবা 8 হতে পারে (যা \(a > 7\) প্রশ্নটির জন্য 'হ্যাঁ' উত্তর দেয়), তাই স্টেটমেন্ট I একা প্রশ্নটির উত্তর দিতে যথেষ্ট নয়।

স্টেটমেন্ট II বিশ্লেষণ: সেট J এর কোনো মোড (mode) নেই।

মোড হল সেটের মধ্যে যে সংখ্যাটি সবচেয়ে বেশিবার আসে।
সেটের অন্যান্য পদগুলি (2, 7, 12, 17) একবার করে আছে।
সেট J এর কোনো মোড না থাকতে হলে, 'a' এর মান 2, 7, 12, বা 17 এর কোনোটিই হতে পারবে না। কারণ, যদি 'a' এই মানগুলির কোনো একটি হয়, তাহলে সেই সংখ্যাটি দুইবার আসবে এবং সেটি মোড হয়ে যাবে।
এখন, এই শর্তে \(a > 7\) কিনা দেখি:
- যদি \(a = 1\) হয় (যা 2, 7, 12, 17 কোনটিই নয়), তাহলে \(a > 7\) মিথ্যা।
- যদি \(a = 8\) হয় (যা 2, 7, 12, 17 কোনটিই নয়), তাহলে \(a > 7\) সত্য।
যেহেতু 'a' এর মান 1 হতে পারে (যা \(a > 7\) প্রশ্নটির জন্য 'না' উত্তর দেয়) অথবা 8 হতে পারে (যা \(a > 7\) প্রশ্নটির জন্য 'হ্যাঁ' উত্তর দেয়), তাই স্টেটমেন্ট II একা প্রশ্নটির উত্তর দিতে যথেষ্ট নয়।

স্টেটমেন্ট I এবং II একত্রিত বিশ্লেষণ:

স্টেটমেন্ট I থেকে পাই: \(7 \le a \le 12\)।
স্টেটমেন্ট II থেকে পাই: \(a \ne 2, 7, 12, 17\)।
এই দুটি শর্ত একত্রিত করলে, 'a' এর মান \(7 \le a \le 12\) এর মধ্যে হতে হবে এবং 7 বা 12 হতে পারবে না। (কারণ 2 ও 17 এই সীমার বাইরে)।
সুতরাং, 'a' এর মান অবশ্যই 7 এর চেয়ে বড় এবং 12 এর চেয়ে ছোট হতে হবে। অর্থাৎ, \(7 < a < 12\)।
এই শর্তটি দ্বারা নিশ্চিতভাবে বলা যায় যে, 'a' এর মান সর্বদা 7 এর চেয়ে বড়।
অতএব, উভয় স্টেটমেন্ট একসাথে প্রশ্নটির উত্তর দিতে যথেষ্ট।

সঠিক উত্তর হল অপশন গ।